願い事 ist schwachsinn.
お願い ist ein Nomen, man kann Verben durch das setzten in eine bestimmte form (hier う->い) zu einem Nomen machen.
Das Bedeutet, dass die obere Kombination NomenNomen ist.
お願いする geht natürlich, das ist die Grundform von "お願いします".
Es gibt allerdings einfach gewisse Standards in einer Sprache. Dinge die gesagt werden, und Dinge die einem Muttersprachler nie einfallen würden. Ein Deutscher würde auch niemals "Ich mache ihnen gegenüber den Wunsch nach einem ihrer Handschriftsunterschrifte", sondern sagt "Ich hätte gern ein Autogramm", obwohl beides möglich ist. Spekulation ist hier ein bisschen gefährlich
Der Standard hier ist "Objekt(を)お願いします".
Was ein Muttersprachler nicht sagen würde ist etwas wie "サインのお願いします"