Mit "Danke" oder gar "Entschuldigung" haben viele Deutsche Probleme, nicht nur die die Japanisch lernen
Der Übergang zwischen beiden ist im Japanischen sehr fließend, beides gehört oft zusammen. Die Sage, dass sich Japaner dauernd entschuldigen entstand vermutlich auch dadurch, dass sie sich für etwas bedanken und das dann vom ausländischen Gegenüber als eine reine Entschuldigung aufgefasst wurde.
Zu Deinen Beispielen:
感謝 ist ein recht häufiges Wort und kann in seiner Verbform 感謝する (z.B. "感謝しています")zum Danksagen in allen möglichen Situationen benutzt werden.
Auf 謝辞 und 謝意 kann ...を述べる (ausdrücken, aussprechen, äußern) folgen、"seinen Dank ausdrücken" wäre das dann auf Deutsch.
多謝 ist im Chinesischen sehr gebräuchlich, im Japanischen ist es mir noch nicht untergekommen, was aber natürlich gar nichts heißt... Das Wörterbuch berichtet darüber, dass es ein Ausdruck ist, um sein "tiefes Gefühl der Dankbarkeit/des um Verzeihung Bittens" Ausdruck zu verleihen. Wohl mehr schriftsprachlich verwendet.
拝謝 kenne ich nur von 歯医者に拝謝しています
Es ist ein 謙譲語, was zusätzlich zum Dank noch Bescheidenheit ausdrücken soll.
Weitere Ausdrücke zum Danksagen:
礼を言う/言います "rei wo iu/iimasu" Standarddanke, häufig verwendet.
すまん、すまない、oder am besten すみません "sumimasen" Superstandarddanke, extrem häufig verwendet, ebenso nützlich wenn man sich entschuldigen will.
おおきに "ookini" Nur in der Kansairegion, dort allerdings häufig zu hören.
かたじけない "katajikenai" das "Danke" der Aristokraten. Mangels Vertreter dieser Bevölkerungsgruppe heute sehr selten, kommt aber häufig in Samuraifilmen oder in Videospielen wie "Final Fantasie 12" vor.
39 "sankyuu" ist Hausaufgabe für Dich übers Wochenende.
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ご苦労様 hat eine eindeutige Tendenz von "oben nach unten". Wenn sich also bspw. Dein Chef sehr für Dich eingesetzt hat, sagst du trotzdem besser nicht ご苦労様, das ist sein Danke für Dich aber nicht umgekehrt.