Da ich, anders als Hyoubyou, meine japanischen Grammatikkenntnisse nicht durch selbst nachdenken erlangt habe, sondern durch nachlesen, will ich dir mitteilen, was ich zu dem Thema gelesen hab! Hilft vielleicht mehr, mal ein paar Regeln zu erfahren, als einfach nur sinnlos über etwas nachdenken.
Das Japanische ermöglicht es, Verben aneinander zu hängen, um bestimmte Dinge auszudrücken.
Diese Verben werden dann meist an den Stamm der Masu-Form angehängt.
In diesem Falle wird der Beginn einer Handlung angezeigt. Das Verb "hajimeru" , also "anfangen", wird an den Masu-Stamm des Verbs "kazoeru", "zählen" angehängt. Das Ergebnis ist halt kazoehajimeru und bedeutet schlicht "anfangen zu zählen".
Das Ganze hätte auch mit 数え出す erreicht werden können, was ebenfalls den Beginn einer Handlung bezeichnet hätte. Soweit ich es verstehe, ist "dasu" als Beginn einer Handlung lediglich dahingehend anders, als dass es einen abrupteren, kraftvolleren Beginn aufzeigt.
Solcher Verb-an-Verb Konstruktionen gibt es einige im Japanischen, die alle bestimmte Dinge ausdrücken.