Yano hat das Ganze ja schon inhaltlich erklärt; ich schiebe nochmal eine syntaktische Erklärung hinterher.
Zunächst mal eine eher triviale Feststellung: あと und 長崎 sind beides Substantive. Das brauchen wir für weitere Überlegungen.
Im Fall von あとの modifiziert あと (und alles was davor steht) 長崎. Wir haben die Struktur AのB. {原爆が落とされたあと}の{長崎} ist als das Gleiche wie {私}の{車}. Übersetzen könnte man das mit "das Nagasaki, nachdem die Atombombe abgeworfen wurde". Dieses näher spezifizierte "Nagasaki" wird jetzt noch durch で und 撮りました modifiziert: "[Es] wurde im {Nagasaki, nachdem die Atombombe abgeworfen wurde,} aufgenommen".
Ich denke, durch einen Syntax-Baum wird das Ganze klarer: (Ganz oben müsste natürlich "S" stehen
)
Das Blaue ist あと und alles, was dazugehört; das Rote ist 長崎 und das, was dazugehört. Man sieht, dass das Blaue ein Teil des Roten ist und "Nagasaki" modifiziert.
Im Fall von あとで sind {原爆が落とされたあと} und {長崎} unabhängige Einheiten. Beide werden mit で einfach an den Satz angehangen und könnten theoretisch vertauscht werden: {長崎で}{原爆が落とされたあとで}取りました. Übersetzen könnte man das Ganze mit "Es wurde in Nagasaki aufgenommen, {nachdem die Atombombe abgeworfen wurde}".
Auch hier wieder ein Baum:
Man sieht hier schön, dass Rot und Blau jetzt unabhängig voneinander sind.
Noch eine kurze Erklärung zu den verwendeten Symbolen
N: Substantiv
P: Partikel
V: Verb
S: Satz
NP: Nominalphrase. Ein Substantiv und alles, was dazugehört.
NP(de) etc: Eine NP zusammen mit einer spezifischen Partikel. (Die braucht man, wenn man NP und Partikel zu einer Einheit zusammen fassen will. Hier eigentlich eher irrelevant, aber jetzt hab ich die Bilder schon hochgeladen...)
Da ich gerade erst aufgestanden bin, habe ich nicht ganz sauber gearbeitet. Normalerweise gäbe es noch mehr NPs beziehungsweise N' etc. Linguisten, die diesen Beitrag lesen, mögen mir verzeihen